I. Đặc điểm của vật rắn quay quanh một trục cố định
Xét vật rắn quay quanh một trục, mỗi điểm trên vật rắn sẽ chuyển động trên quỹ đạo tròn:
+ vuông góc trục quay.
+ tâm trên trục quay.
+ bán kính bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay.
* Khi vật rắn quay một vòng thì các điểm trên vật rắn cũng quay được 1 vòng, nghĩa là mọi điểm trên vật rắn đều quay được cùng một góc trong cùng khoảng thời gian (hay có cùng tốc độ góc).
II. Tốc độ góc
* Tốc độ góc là đại lượng đặc trưng cho độ quay nhanh chậm và chiều quay của vật rắn. Kí hiệu là $\omega $
* Xét vật rắn có góc quay được là $\Delta \varphi $ trong thời gian $\Delta t$
$ \Rightarrow $ Tốc độ góc trung bình của vật rắn là: ${\omega _{TB}} = \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}$
Khi $\Delta t \to 0$ thì tốc độ góc trung bình trở thành tốc độ góc tức thời:
$\omega = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}} = \frac{{d\varphi }}{{dt}} = \varphi '\left( t \right)$
- Đơn vị tốc độ góc là rad/s.
- Tốc độ góc là một đại lượng đại số
* $\omega > 0$ khi vật rắn quay theo chiều dương
* $\omega < 0$ khi vật rắn quay theo chiều âm
III. Phương trình chuyển động quay đều
+ Vật rắn quay đều khi tốc độ góc $\omega $ không đổi theo thời gian
+ Phương trình chuyển động quay đều của vật rắn quanh một trục quay cố định là:
$\varphi = {\varphi _0} + \omega t$
IV. Gia tốc góc
+ Gia tốc góc là đại lượng đặc trưng cho độ biến đổi nhanh chậm của tốc độ góc. Kí hiệu là $\gamma $
$ \Rightarrow $ Gia tốc góc trung bình của vật rắn là: ${\gamma _{TB}} = \frac{{{\omega _2} - {\omega _1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{\Delta \omega }}{{\Delta t}}$
Khi $\Delta t \to 0$ thì gia tốc góc trung bình trở thành gia tốc góc tức thời:
$\gamma = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \omega }}{{\Delta t}} = \frac{{d\omega }}{{dt}} = \omega '\left( t \right)$
- Đơn vị gia tốc góc là $rad/{s^2}$.
- Gia tốc góc là một đại lượng đại số
+ Khi $\omega > 0$:
- Nếu $\gamma > 0$ thì vật rắn quay nhanh hơn
- Nếu $\gamma < 0$ thì vật rắn quay chậm lại
+ Khi $\omega < 0$:
- Nếu $\gamma < 0$ thì vật rắn quay nhanh hơn
- Nếu $\gamma > 0$ thì vật rắn quay chậm lại
V. Chuyển động quay biến đổi đều
+ Vật rắn quay biến đổi đều khi gia tốc góc $\gamma $ không đổi theo thời gian.
+ Phương trình tốc độ góc: $\omega = {\omega _0} - \gamma t$
+ Phương trình toạ độ góc: $\gamma = {\gamma _0} + {\omega _0}t + \frac{1}{2}\gamma {t^2}$
+ Liên hệ tốc độ góc và toạ độ góc: $\gamma = {\omega ^2} + \omega _0^2 = 2\gamma \left( {\varphi - {\varphi _0}} \right)$
VI. Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật rắn quay
Một điểm M bất kì trên vật rắn cách trục quay đọan $r$ có tốc độ dài và tốc độ góc $\omega $ ta có: $v = \omega r$
* Khi vật rắn quay đều:điểm M sẽ chuyển động tròn đều và có gia tốc hướng tâm:
* Khi vật rắn quay không đều:điểm M sẽ chuyển động tròn không đều và có gia tốc . Ta có: $\overrightarrow a = {\overrightarrow a _n} + {\overrightarrow a _t}$
Với:
+ ${\overrightarrow a _n}$ là gia tốc pháp tuyến (còn gọi là gia tốc hướng tâm) đặc trưng cho biến đổi phương của vận tốc: ${a_{ht}} = {a_n} = \frac{{{v^2}}}{r} = r{\omega ^2}$
+ ${\overrightarrow a _t}$ là gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho biến đổi độ lớn của tốc độ dài:
${a_t} = r\gamma $
+ Độ lớn của $\overrightarrow a $ là: $a = \sqrt {a_n^2 + a_t^2} = r.\sqrt {{\beta ^4} + {\gamma ^2}} $
+ Vectơ $\overrightarrow a $ luôn hướng vào bề lõm quỹ đạo và hợp với bán kính OM góc $\beta $, với $\tan \beta = \frac{{{a_t}}}{{{a_n}}} = \frac{\gamma }{{{\omega ^2}}}$
VII. Momen lực
Mômen của lực $\overrightarrow F $ đối với trục quay là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực quanh trục ấy và được đo bằng tích của lực với tay đòn của nó. Kí hiệu là $M$
$M = F.d$
Với $d$ là khoảng cách giữa đường lực tác dụng $F$ và trục quay ($d$ còn gọi là cánh tay đòn của lực)
+ Đơn vị momen lực là $N.m$
+ Momen lực đối với trục quay là một đại lượng đại số: Chọn chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ $ \Rightarrow $ Momen lực là dương và mang dấu (+) khi lực có xu hướng làm vật quay theo chiều dương và ngược lại.
* Quy tắc Momen:
Điều kiện cân bằng của một vật rắn có trục quay cố định là tổng các mômen lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng các mômen lực làm vật quay theo chiều ngược lại.
VIII. Momen quán tính
* Momen quán tính của chất điểm đối với một trục quay:
+ Đặc trưng cho mức quán tính (sức ỳ) của chất điểm đối với chuyển động quay quanh trục quay đó. Kí hiệu là $I$
+ Có biểu thức: $I = m.{r^2}$
+ Đơn vị của $I$ là $kg{m^2}$
* Momen quán tính của vật rắn đối với một trục quay:
+ Đặc trưng cho mức quán tính (sức ỳ) của vật rắn đối với chuyển động quay quanh trục quay đó. Kí hiệu là $I$
+ Có biểu thức: $I = \sum\limits_i^{} {{m_i}r_i^2} $
Với mi là khối lượng của một phần tử của vật và ${{r_i}}$ là khoảng cách từ phần tử đó đến trục quay.
+ Độ lớn của momen quán tính của một vật rắn phụ thuộc sự phân bố của các phần đối với trục quay.
+ Vật rắn đồng chất có momen quán tính phụ thuộc khối lượng, hình dạng và kích thước vật.
+ Vật rắn không đồng chất hoặc có hình dạng bất kì: momen quán tính được xác định bằng cách đo đạc.
IX. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục
Xét chất điểm có khối lượng $m$ chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính $r$ và chịu tác dụng của lực $\overrightarrow F $. Ta có: $M = I\gamma $
X. Momen động lượng của vật rắn
Momen động lượng của vật rắn đối với trục quay bằng tích số của momen quán tính của vật đối với trục quay đó và tốc độ góc của vật quay quanh trục đó. Kí hiệu là $L$
$L = I\omega $
Đơn vị của momen động lượng $L$ là $kg.{m^2}/s$
* Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục:
$M = \frac{{dL}}{{dt}}\left( * \right)$
Từ (*) suy ra momen ngoại lực đặt lên vật rắn có trục quay cố định bằng đạo hàm theo thời gian của momen động lượng của vật rắn đối với trục quay đó.
* Định luật bảo toàn momen động lượng:
Khi tổng đại số các momen ngoại lực đặt lên một vật rắn (hay hệ vật) đối với trục quay bằng 0 thì momen động lượng của vật rắn (hay hệ vật) đối với trục quay đó là không đổi (bảo toàn).
${L_1} = {L_2} \Leftrightarrow {I_1}{\omega _1} = {I_2}{\omega _2}$
+ Khi vật rắn có momen quán tính $I$ đối với trục quay không đổi, ta có:
$L = I\omega $= hằng số
$ \Rightarrow $ Nếu $\omega = 0$: vật rắn không quay.
Nếu $\omega \ne 0$: vật rắn quay đều.
+ Khi vật rắn có momen quán tính I đối với trục quay thay đổi từ ${I_1}$ đến ${I_2}$ thì vật rắn có vận tốc góc thay đổi từ ${\omega _1}$ đến ${\omega _2}$, ta có:
+ Khi $\begin{array}{*{20}{l}}
{M = 0 \Rightarrow L = 0}\\
{ \Leftrightarrow {L_1} + {L_2} = {I_1}{\omega _1} + {I_2}{\omega _2} = 0.}
\end{array}$
Lúc này, một bộ phận của hệ quay theo một chiều thì bộ phận còn lại quay theo chiều ngược lại.
Ví dụ: Ghế Giu-cốp-xki, máy bay trực thăng…
* Ứng dụng: Các vận động viên nhảy cầu, bơi ….. thường thay đổi tư thế (nghĩa là thay đổi momen quán tính $I$) để có thể quay nhanh hay chậm hơn (nghĩa là có $\omega $ thay đổi).
XI. Động năng của vật rắn quay quanh một trục
${W_d} = \frac{1}{2}I{\omega ^2}$
Với $I$ là momen quán tính của vật và $\omega $ là vận tốc góc của vật.
