A. Mệnh đề

Trong logic toán người ta quy định:

Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai chân lí 0 hoặc 1. Mệnh đề có giá trị chân lí 1 là đúng, mệnh đề có giá trị chân lí 0 là sai.

Hay còn được phát biểu:

Một mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai (luật bài trung).

Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai (luật phi mâu thuẫn).

Bài toán 1. Xây dựng mệnh đề

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa các mệnh đề $\overline P ,P \Rightarrow Q,P \Leftrightarrow Q.$

Bài toán 2. Xét chân trị của mệnh đề

 Phương pháp: Dựa vào chân trị của các mệnh đề $\overline P ,P \Rightarrow Q,P \Leftrightarrow Q,$ cụ thể:

+ Nếu $P$ đúng thì $\overline P $ sai, nếu $P$ sai thì $\overline P $ đúng.

+ $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng $Q$ sai.

+ $P \Leftrightarrow Q$ đúng nếu cả hai mệnh đề $P$ và $Q$ cùng chân trị.

Ngoài ra, còn có hai mệnh đề $P \vee Q,P \wedge Q,$ như:

+ $P \vee Q$ chỉ sai khi $P,Q$ cùng sai.

+ $P \wedge Q$ chỉ đúng khi $P,Q$ cùng đúng.

Bài toán 3. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học  

 Phương pháp: Phát biểu các định lý dưới dạng

$\forall x \in R,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right)$ hay $\forall x \in R,P\left( x \right) \Leftrightarrow Q\left( x \right)$

Để chứng minh định lý trên ta áp dụng một trong hai cách sau đây:

+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp

+ Cách 2: Chứng minh gián tiếp (chứng minh bằng phản chứng), trường hợp này thực hiện theo 2 bước sau:

                 - Bước 1: Giả sử tồn tại $x \in R$ sao cho $P\left( x \right)$ đúng còn $Q\left( x \right)$ sao.

                 - Bước 2: Lập luận thông qua các kiến thức toán đã học để đi đến mâu thuẫn.

B. Mệnh đề

Bài toán 1. Xác định tập hợp

Phương pháp:

1. Với tập hợp $A$ ta có thể:

+ Liệt kê các phần tử của $A$.

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của $A$.

2. Sử dụng định nghĩa về các phép toán của tập hợp

* $A \cup B = \left\{ {x\left| {x \in A\,hoặc\,x \in B} \right.} \right\}$

Nếu sử dụng trục số để biểu diễn, ta thực hiện như sau:

+ Biểu diễn $A$ trên trục số;

+ Biểu diễn $B$ trên trục số;

+ Gạch bỏ phần $R\backslash \left( {A \cup B} \right)$, phần còn lại chính là $A \cup B.$

* $A \cap B = \left\{ {x\left| {x \in A\,và\,x \in B} \right.} \right\}$

Nếu sử dụng trục số để biểu diễn, ta thực hiện như sau:

+ Biểu diễn $A$ trên trục số và gạch bỏ phần $R\backslash A.$

+ Biểu diễn $B$ trên trục số và gạch bỏ phần $R\backslash B.$

+ Phần còn lại trên trục số là $A \cap B$

* $A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A\,và\,x \notin B} \right.} \right\}$

* $P\left( A \right) = \left\{ {X\left| {X \subset A} \right.} \right\}.$

3. Tìm các tập con của tập $A$, ta thực hiện như sau:

+ Xác định số phần tử của $A$, giả sử bằng $k.$

+ Liệt kê các tập hợp gồm tập $\emptyset $, $A$ và các tập con có $1,2,...,k - 1$ phần tử của $A.$

Bài toán 2. Chứng minh $A \subset B.$

              Chứng minh $A = B.$

Phương pháp:

tử bất kỳ $x \in A$, sau đó chứng minh $x \in B.$

+ Vậy ta được $A \subset B.$

* Cách 2

Sử dụng tính chất bắc cầu $\left\{ \begin{array}{l}
A \subset C\\
C \subset B
\end{array} \right. \Rightarrow A \subset B$

* Cách 3

Liệt kê $A, B$ rồi từ đó suy ra $A \subset B.$

2. Chứng minh $A = B,$ thực hiện một trong các cách sau:

* Cách 1

+ Chứng minh $A \subset B.$

+ Chứng minh $B \subset A.$

+ Vậy ta được $A = B.$

* Cách 2

Sử dụng tính chất bắc cầu $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A = C}\\
{B = C}
\end{array}} \right. \Rightarrow A = B$

* Cách 3

Liệt kê $A, B$ rồi từ đó suy ra $A = B.$