1. Bất phương trình chứa một căn bậc hai

Bài tập1.
             Giải bất phương trình:

                $\left( {{x^2} - 3x} \right)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2}  \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$

* Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng $A.B \ge 0$ nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

              $f(x).\sqrt {g(x)}  \ge 0$, với $f(x)$và $f(x)$ có nghĩa:

             $\Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {g(x) = 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {g(x) > 0}\\ {f(x) \ge 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$

 

Giải

Bất phương trình tương đương với:             
                    $\left[ \begin{array}{l} 2{x^2} - 3x - 2 = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 3x - 2 > 0\\ {x^2} - 3x \ge 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ 
             $\Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} x = 2\,\, \vee \,\,x =  - \frac{1}{2}\\ \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x > 2\\ x <  - 1/2 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} x \ge 3\\ x \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right.$
             
              $\Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} x \ge 3\\ x = 2\\ x \le  - 1/2 \end{array} \right..$

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ;\,\, - \frac{1}{2}} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {3;\,\, + \infty } \right).$

 

Dạng cơ bản 1

Với bất phương trình $\sqrt {f(x)}  < g(x)$ ta có phép biến đổi tương đương:

 

             $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) \ge 0}\\ {g(x) > 0}\\ {f(x) < {g^2}(x){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)} \end{array}} \right..$

 

 

Bài tập 2.

Giải bất phương trình:

$x + 1 \ge \sqrt {2({x^2} - 1)} ,\,\,x \in R.$

 

Giải

Bất phương trình tương đương với:

                   $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2({x^2} - 1) \ge 0}\\ {x + 1 \ge 0}\\ {2({x^2} - 1) \le {{(x + 1)}^2}} \end{array}} \right.$

             $\Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| x \right| \ge 1}\\ {x \ge  - 1}\\ {{x^2} - 2x - 3 \le 0} \end{array}} \right.$

 $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| x \right| \ge 1}\\ {x \ge  - 1}\\ { - 1 \le x \le 3} \end{array}} \right.$
              $\Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} x =  - 1\\ 1 \le x \le 3 \end{array} \right..$

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;{\rm{ }}3} \right] \cup \{  - 1\} .$

 

Bài tập3.

Giải bất phương trình:

$\sqrt {{x^2} + 3}  \le 3{x^2} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$

 

* Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương – Giải được.

Ngoài ra, bất phương trình còn được giảitheo các cách khác:

* Nhẩm nghiệm ${x_0}$ rồi chuyển bất phương trình về dạng tích $\left( {x - {x_0}} \right)h\left( x \right)$ bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:

-  Nhận xét rằng ${x_0} = 1$ là nghiệm của bất phương trình.

-  Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\sqrt {{x^2} + 3}  - 2 \le 3{x^2} - 3$

$\Leftrightarrow \,\,\,\frac{{{x^2} + 3 - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 3}  + 2}} \le 3\left( {{x^2} - 1} \right)$

$\Leftrightarrow \,\,\,({x^2} - 1)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3}  + 2}} - 3} \right) \le 0.$

 

* Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, với $t = \sqrt {{x^2} + 3} ,\,\,t \ge \sqrt 3 .$

Giải

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 3} ,\,\,t \ge \sqrt 3 .$ Suy ra ${x^2} = {t^2} – 3.$

Bất phương trình có dạng:

$t \le 3({t^2} - 3) - 1$

$\Leftrightarrow 3{t^2} - t - 10 \ge 0$

$\Leftrightarrow \left( {3t{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)(t - 2) \ge 0.$

$\Leftrightarrow \,\,\left| x \right| \ge 1.$

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).$

 

* Nhận xét:

Để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tương đương.

Lưu ý cách nhẩm nghiệm ${x_0}$  rồi chuyển bất phương trình về dạng tích tích $\left( {x - {x_0}} \right)h\left( x \right)$ bằng phép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận được cách giải hay.

Cách 2: Đặt ẩn phụ.

Một hoặc nhiều ẩn phụ.

Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số.  

Sử dụng đạo hàm.

Cách 4: Đánhgiá.

 

             Dạng cơ bản 2

             Với bất phương trình $\sqrt {f(x)}  > g(x)$ ta có phép biến đổi tương đương:

 

                          $(I):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) \ge 0}\\ {g(x) < 0} \end{array}} \right.$

  hoặc 

                         $(II):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {g(x) \ge 0}\\ {f(x) > {g^2}(x).{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)} \end{array}} \right.$

 

Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).

Bài tập 4.

Giải bất phương trình:

$\sqrt {2x + 1}  > 1 - x,\,\,x \in R.$

 * Đánh giá và định hướng thực hiện:

Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai -Giải được.

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

* Nhẩm nghiệm ${x_0}$ rồi chuyển bất phương trình về dạng tích $\left( {x - {x_0}} \right)h\left( x \right)$ bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:

-  Nhận xét rằng ${x_0}=0$ thoả mãn VT = VP.

-  Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right) + x > 0$

$\Leftrightarrow \,\,\,\frac{{2x + 1 - 1}}{{\sqrt {2x + 1}  + 1}} + x > 0$

$\Leftrightarrow \,\,\,x\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 1}  + 1}} + 1} \right) > 0$

* Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét:

-  Vế trái là hàm đồng biến.

-  Vế phải là hàm nghịch biến.

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ $x=0.$

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0; + \infty } \right).$

Giải

              Bất phương trình tương đương với:

 

               $(I):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + 1 \ge 0}\\ {1 - x < 0} \end{array}} \right.$

 

  hoặc 

 

               $(II):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 - x \ge 0}\\ {2x + 1 > {{\left( {1 - x} \right)}^2}} \end{array}} \right..$

 

               Ta lần lượt:

               * Giải (I) ta được:

               $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge  - \frac{1}{2}}\\ {x > 1} \end{array}} \right.$
              $\Leftrightarrow x > 1.$                                                           (1)

              * Giải (II) ta được:

              $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {{x^2} - 4x < 0} \end{array}} \right.$

 

              $\Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {0 < x < 4} \end{array}} \right.$

 

              $\Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 < x \le 1.$                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0; + \infty } \right).$

 

Bài tập 5.

Giải bất phương trình:

$\sqrt {\left| {\frac{1}{4} - x} \right|}  \ge x + \frac{1}{2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$

*Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối -giải được bằng phương pháp chia khoảng.

Giải

             Bất phương trình tương đương với:

$(I):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x + \frac{1}{2} \le 0$

hoặc 

             $(II):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + \frac{1}{2} > 0}\\ {\left| {\frac{1}{4} - x} \right| \ge {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)} \end{array}} \right..$

 

Giải (I) ta được $x \le  - \frac{1}{2}.$                                     (1)

Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):

• Với $\frac{1}{4} - x \ge 0$ tức $x \le \frac{1}{4}$ thì:

             $\begin{array}{l} \frac{1}{4} - x \ge {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\\  \Leftrightarrow {x^2} + 2x \le 0\\  \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 0 \end{array}$

 

• Với $\frac{1}{4} - x < 0$ tức $x > \frac{1}{4}$ thì:

$x - \frac{1}{4} \ge {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \,\,{x^2} + \frac{1}{2} \le 0$, vô nghiệm.
Suy ra, nghiệm của (*) là $- 2 \le x \le 0.$

             Và hệ (II) có dạng:

 

            $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x >  - \frac{1}{2}}\\ { - 2 \le x \le 0} \end{array}} \right.$

 

$\Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  - \frac{1}{2} < x \le 0.$                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ;0} \right].$      

 

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU

Bài tập 6.

Giải bất phương trình:

$\sqrt x  > 1 + \sqrt[3]{{x - 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$                                     (1)

* Đánh giá và định hướng thực hiện: Trước tiên, đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình. Từ đây, bằng phép khai phương ta thấy xuất hiện ẩn phụ $t = \sqrt[3]{{x - 1}}.$

Giải

Điều kiện $x \ge 0.$                                                                      (*)

Ta có:

             (1) $x > {\left( {1 + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right)^2}$ với $\left( {x > 0{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} 1 + \sqrt[3]{{x - 1}} > 0} \right)$
(2)  $\Leftrightarrow x > 1 + 2.\sqrt[3]{{x - 1}} + {\left( {\sqrt[3]{{x - 1}}} \right)^2}$
      $\Leftrightarrow x - 1 - {\left( {\sqrt[3]{{x - 1}}} \right)^2} - 2.\sqrt[3]{{x - 1}} > 0$                (2)

$x > {\left( {1 + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right)^2}$

Đặt $t = \sqrt[3]{{x - 1}}$

Khi đó, bất phương trình (2) có dạng:

                        ${t^3} - {t^2} - 2t > 0$

 

                        $\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow t\left( {{t^2} - t - 2} \right) > 0}\\ { \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) > 0} \end{array}$

 

                       $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t > 2}\\ {t < 0} \end{array}} \right.$

 

                      $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[3]{{x - 1}} > 2}\\ {\sqrt[3]{{x - 1}} < 0} \end{array}} \right.$

 

                      $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 1 > 8}\\ {x - 1 < 0} \end{array}} \right.$

 

                     $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 9}\\ {0 < x < 1} \end{array}} \right.\left( {x > 0} \right)$

 

                   Vậy, bất phương trình có nghiệm $x > 9$ hoặc $0 < x < 1.$

 

                   3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI

                   Bài tập 7.

                    Giải bất phương trình:

$\sqrt {5x - 1}  - \sqrt {x - 1}  > \sqrt {2x - 4} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$

 

                  * Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là bất phương trình vô tỉ và có thể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng $\sqrt {f(x)}  > \sqrt {g(x)}  + \sqrt {h(x)}$, do đó các bước thực hiện bao gồm:

            Bước 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.                  (*)

            Bước 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

$f(x) > g(x) + h(x) + 2\sqrt {g(x).h(x)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {g(x).h(x)}  < p(x)$

 

                          $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {p(x) > 0}\\ {g(x).h(x) < {p^2}\left( x \right)} \end{array}} \right.$

 

$\Rightarrow$ nghiệm

           Bước 3: Kết hợp với (*), nhận được nghiệm của bất phương trình.

Giải

                 Điều kiện:

 

                 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5x - 1 \ge 0}\\ {x - 1 \ge 0}\\ {2x - 4 \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 2.$                        (*)

              Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\sqrt {5x - 1}  > \sqrt {2x - 4}  + \sqrt {x - 1}$

$\Leftrightarrow 5x - 1 > 2x - 4 + x - 1 + 2.\sqrt {\left( {2x - 40} \right)\left( {x - 1} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {(2x - 4)(x - 1)}  < x + 2\left( * \right)$

$\Leftrightarrow 2x - 4)(x - 1) < {\left( {x + 2} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 10x < 0$

$0 < x < 10.$
Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là $2 \le x < 10.$.