1. Bất phương trình chứa một căn bậc hai
Bài tập1.
Giải bất phương trình:
$\left( {{x^2} - 3x} \right)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2} \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng $A.B \ge 0$ nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
$f(x).\sqrt {g(x)} \ge 0$, với $f(x)$và $f(x)$ có nghĩa:
{g(x) = 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{g(x) > 0}\\
{f(x) \ge 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right..$
Giải
Bất phương trình tương đương với:
$\left[ \begin{array}{l}
2{x^2} - 3x - 2 = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} - 3x - 2 > 0\\
{x^2} - 3x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 2\,\, \vee \,\,x = - \frac{1}{2}\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < - 1/2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x = 2\\
x \le - 1/2
\end{array} \right..$
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ;\,\, - \frac{1}{2}} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {3;\,\, + \infty } \right).$
Dạng cơ bản 1
Với bất phương trình $\sqrt {f(x)} < g(x)$ ta có phép biến đổi tương đương:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) \ge 0}\\
{g(x) > 0}\\
{f(x) < {g^2}(x){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)}
\end{array}} \right..$
Bài tập 2.
Giải bất phương trình:
$x + 1 \ge \sqrt {2({x^2} - 1)} ,\,\,x \in R.$
Giải
Bất phương trình tương đương với:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2({x^2} - 1) \ge 0}\\
{x + 1 \ge 0}\\
{2({x^2} - 1) \le {{(x + 1)}^2}}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| x \right| \ge 1}\\
{x \ge - 1}\\
{{x^2} - 2x - 3 \le 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| x \right| \ge 1}\\
{x \ge - 1}\\
{ - 1 \le x \le 3}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right..$
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;{\rm{ }}3} \right] \cup \{ - 1\} .$
Bài tập3.
Giải bất phương trình:
$\sqrt {{x^2} + 3} \le 3{x^2} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương – Giải được.
Ngoài ra, bất phương trình còn được giảitheo các cách khác:
* Nhẩm nghiệm ${x_0}$ rồi chuyển bất phương trình về dạng tích $\left( {x - {x_0}} \right)h\left( x \right)$ bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:
- Nhận xét rằng ${x_0} = 1$ là nghiệm của bất phương trình.
- Biến đổi bất phương trình về dạng:
$\sqrt {{x^2} + 3} - 2 \le 3{x^2} - 3$
$ \Leftrightarrow \,\,\,\frac{{{x^2} + 3 - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} \le 3\left( {{x^2} - 1} \right)$
$ \Leftrightarrow \,\,\,({x^2} - 1)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} - 3} \right) \le 0.$
* Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, với $t = \sqrt {{x^2} + 3} ,\,\,t \ge \sqrt 3 .$
Giải
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 3} ,\,\,t \ge \sqrt 3 .$ Suy ra ${x^2} = {t^2} – 3.$
Bất phương trình có dạng:
$t \le 3({t^2} - 3) - 1$
$ \Leftrightarrow 3{t^2} - t - 10 \ge 0$
$ \Leftrightarrow \left( {3t{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)(t - 2) \ge 0.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left| x \right| \ge 1.$
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).$
* Nhận xét:
Để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn một trong các cách:
Cách 1: Biến đổi tương đương.
Lưu ý cách nhẩm nghiệm ${x_0}$ rồi chuyển bất phương trình về dạng tích tích $\left( {x - {x_0}} \right)h\left( x \right)$ bằng phép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận được cách giải hay.
Cách 2: Đặt ẩn phụ.
Một hoặc nhiều ẩn phụ.
Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số.
Sử dụng đạo hàm.
Cách 4: Đánhgiá.
Dạng cơ bản 2
Với bất phương trình $\sqrt {f(x)} > g(x)$ ta có phép biến đổi tương đương:
$(I):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) \ge 0}\\
{g(x) < 0}
\end{array}} \right.$
hoặc
$(II):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(x) \ge 0}\\
{f(x) > {g^2}(x).{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)}
\end{array}} \right.$
Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).
Bài tập 4.
Giải bất phương trình:
$\sqrt {2x + 1} > 1 - x,\,\,x \in R.$
* Đánh giá và định hướng thực hiện:
Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai -Giải được.
Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:
* Nhẩm nghiệm ${x_0}$ rồi chuyển bất phương trình về dạng tích $\left( {x - {x_0}} \right)h\left( x \right)$ bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:
- Nhận xét rằng ${x_0}=0$ thoả mãn VT = VP.
- Biến đổi bất phương trình về dạng:
$\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right) + x > 0$
$ \Leftrightarrow \,\,\,\frac{{2x + 1 - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} + x > 0$
$ \Leftrightarrow \,\,\,x\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} + 1} \right) > 0$
* Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét:
- Vế trái là hàm đồng biến.
- Vế phải là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ $x=0.$
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0; + \infty } \right).$
Giải
Bất phương trình tương đương với:
$(I):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 \ge 0}\\
{1 - x < 0}
\end{array}} \right.$
hoặc
$(II):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 - x \ge 0}\\
{2x + 1 > {{\left( {1 - x} \right)}^2}}
\end{array}} \right..$
Ta lần lượt:
* Giải (I) ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - \frac{1}{2}}\\
{x > 1}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow x > 1.$ (1)
* Giải (II) ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 1}\\
{{x^2} - 4x < 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 1}\\
{0 < x < 4}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 < x \le 1.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0; + \infty } \right).$
Bài tập 5.
Giải bất phương trình:
$\sqrt {\left| {\frac{1}{4} - x} \right|} \ge x + \frac{1}{2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$
*Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối -giải được bằng phương pháp chia khoảng.
Giải
Bất phương trình tương đương với:
$(I):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x + \frac{1}{2} \le 0$
hoặc
$(II):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{1}{2} > 0}\\
{\left| {\frac{1}{4} - x} \right| \ge {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)}
\end{array}} \right..$
Giải (I) ta được $x \le - \frac{1}{2}.$ (1)
Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):
- Với $\frac{1}{4} - x \ge 0$ tức $x \le \frac{1}{4}$ thì:
\frac{1}{4} - x \ge {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x \le 0\\
\Leftrightarrow - 2 \le x \le 0
\end{array}$
- Với $\frac{1}{4} - x < 0$ tức $x > \frac{1}{4}$ thì:
$x - \frac{1}{4} \ge {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \,\,{x^2} + \frac{1}{2} \le 0$, vô nghiệm.
Suy ra, nghiệm của (*) là $ - 2 \le x \le 0.$
Và hệ (II) có dạng:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > - \frac{1}{2}}\\
{ - 2 \le x \le 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - \frac{1}{2} < x \le 0.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ;0} \right].$
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU
Bài tập 6.
Giải bất phương trình:
$\sqrt x > 1 + \sqrt[3]{{x - 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$ (1)
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Trước tiên, đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình. Từ đây, bằng phép khai phương ta thấy xuất hiện ẩn phụ $t = \sqrt[3]{{x - 1}}.$
Giải
Điều kiện $x \ge 0.$ (*)
Ta có:
(1) $x > {\left( {1 + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right)^2}$ với $\left( {x > 0{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 1 + \sqrt[3]{{x - 1}} > 0} \right)$
(2) $ \Leftrightarrow x > 1 + 2.\sqrt[3]{{x - 1}} + {\left( {\sqrt[3]{{x - 1}}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow x - 1 - {\left( {\sqrt[3]{{x - 1}}} \right)^2} - 2.\sqrt[3]{{x - 1}} > 0$ (2)
Đặt $t = \sqrt[3]{{x - 1}}$
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng:
${t^3} - {t^2} - 2t > 0$
$\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow t\left( {{t^2} - t - 2} \right) > 0}\\
{ \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) > 0}
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t > 2}\\
{t < 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt[3]{{x - 1}} > 2}\\
{\sqrt[3]{{x - 1}} < 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 1 > 8}\\
{x - 1 < 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 9}\\
{0 < x < 1}
\end{array}} \right.\left( {x > 0} \right)$
Vậy, bất phương trình có nghiệm $x > 9$ hoặc $0 < x < 1.$
3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI
Bài tập 7.
Giải bất phương trình:
$\sqrt {5x - 1} - \sqrt {x - 1} > \sqrt {2x - 4} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R.$
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là bất phương trình vô tỉ và có thể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng $\sqrt {f(x)} > \sqrt {g(x)} + \sqrt {h(x)} $, do đó các bước thực hiện bao gồm:
Bước 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình. (*)
Bước 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:
$f(x) > g(x) + h(x) + 2\sqrt {g(x).h(x)} $
$ \Leftrightarrow \sqrt {g(x).h(x)} < p(x)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{p(x) > 0}\\
{g(x).h(x) < {p^2}\left( x \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow $ nghiệm
Bước 3: Kết hợp với (*), nhận được nghiệm của bất phương trình.
Giải
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5x - 1 \ge 0}\\
{x - 1 \ge 0}\\
{2x - 4 \ge 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 2.$ (*)
Biến đổi bất phương trình về dạng:
$\sqrt {5x - 1} > \sqrt {2x - 4} + \sqrt {x - 1} $
$ \Leftrightarrow 5x - 1 > 2x - 4 + x - 1 + 2.\sqrt {\left( {2x - 40} \right)\left( {x - 1} \right)} $
$ \Leftrightarrow \sqrt {(2x - 4)(x - 1)} < x + 2\left( * \right)$
$ \Leftrightarrow 2x - 4)(x - 1) < {\left( {x + 2} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 10x < 0$
$0 < x < 10.$
Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là $2 \le x < 10.$.
