1. Bất phương trình chứa một căn bậc hai
Bài tập1.
Giải bất phương trình:
(x2−3x)√2x2−3x−2≥0,x∈R.
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng A.B≥0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
f(x).√g(x)≥0, với f(x)và f(x) có nghĩa:
Giải
Bất phương trình tương đương với:
[2x2−3x−2=0{2x2−3x−2>0x2−3x≥0
⇔[x=2∨x=−12{[x>2x<−1/2[x≥3x≤0
⇔[x≥3x=2x≤−1/2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (−∞;−12]∪{2}∪[3;+∞).
Dạng cơ bản 1
Với bất phương trình √f(x)<g(x) ta có phép biến đổi tương đương:
{f(x)≥0g(x)>0f(x)<g2(x)(∗).
Bài tập 2.
Giải bất phương trình:
x+1≥√2(x2−1),x∈R.
Giải
Bất phương trình tương đương với:
{2(x2−1)≥0x+1≥02(x2−1)≤(x+1)2⇔{|x|≥1x≥−1x2−2x−3≤0
⇔{|x|≥1x≥−1−1≤x≤3
⇔[x=−11≤x≤3.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1;3]∪{−1}.
Bài tập3.
Giải bất phương trình:
√x2+3≤3x2−1,x∈R.
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương – Giải được.
Ngoài ra, bất phương trình còn được giảitheo các cách khác:
* Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x−x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:
- Nhận xét rằng x0=1 là nghiệm của bất phương trình.
- Biến đổi bất phương trình về dạng:
√x2+3−2≤3x2−3
⇔x2+3−4√x2+3+2≤3(x2−1)
⇔(x2−1)(1√x2+3+2−3)≤0.
* Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, với t=√x2+3,t≥√3.
Giải
Đặt t=√x2+3,t≥√3. Suy ra ${x^2} = {t^2} – 3.$
Bất phương trình có dạng:
t≤3(t2−3)−1
⇔3t2−t−10≥0
⇔(3t+5)(t−2)≥0.
⇔|x|≥1.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (−∞;−1]∪[1;+∞).
* Nhận xét:
Để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn một trong các cách:
Cách 1: Biến đổi tương đương.
Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích tích (x−x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận được cách giải hay.
Cách 2: Đặt ẩn phụ.
Một hoặc nhiều ẩn phụ.
Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số.
Sử dụng đạo hàm.
Cách 4: Đánhgiá.
Dạng cơ bản 2
Với bất phương trình √f(x)>g(x) ta có phép biến đổi tương đương:
(I):{f(x)≥0g(x)<0
hoặc
(II):{g(x)≥0f(x)>g2(x).(∗)
Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).
Bài tập 4.
Giải bất phương trình:
√2x+1>1−x,x∈R.
* Đánh giá và định hướng thực hiện:
Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai -Giải được.
Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:
* Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x−x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:
- Nhận xét rằng ${x_0}=0$ thoả mãn VT = VP.
- Biến đổi bất phương trình về dạng:
(√2x+1−1)+x>0
⇔2x+1−1√2x+1+1+x>0
⇔x(2√2x+1+1+1)>0
* Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét:
- Vế trái là hàm đồng biến.
- Vế phải là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x=0.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0;+∞).
Giải
Bất phương trình tương đương với:
(I):{2x+1≥01−x<0
hoặc
(II):{1−x≥02x+1>(1−x)2.
Ta lần lượt:
* Giải (I) ta được:
{x≥−12x>1⇔x>1. (1)
* Giải (II) ta được:
{x≤1x2−4x<0⇔{x≤10<x<4
⇔0<x≤1. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0;+∞).
Bài tập 5.
Giải bất phương trình:
√|14−x|≥x+12,x∈R.
*Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối -giải được bằng phương pháp chia khoảng.
Giải
Bất phương trình tương đương với:
(I):x+12≤0
hoặc
(II):{x+12>0|14−x|≥(x+12)2(∗).
Giải (I) ta được x≤−12. (1)
Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):
- Với 14−x≥0 tức x≤14 thì:
- Với 14−x<0 tức x>14 thì:
x−14≥(x+12)2
⇔x2+12≤0, vô nghiệm.
Suy ra, nghiệm của (*) là −2≤x≤0.
Và hệ (II) có dạng:
{x>−12−2≤x≤0
⇔−12<x≤0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (−∞;0].
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU
Bài tập 6.
Giải bất phương trình:
√x>1+3√x−1,x∈R. (1)
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Trước tiên, đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình. Từ đây, bằng phép khai phương ta thấy xuất hiện ẩn phụ t=3√x−1.
Giải
Điều kiện x≥0. (*)
Ta có:
(1) x>(1+3√x−1)2 với (x>0→1+3√x−1>0)
(2) ⇔x>1+2.3√x−1+(3√x−1)2
⇔x−1−(3√x−1)2−2.3√x−1>0 (2)
Đặt t=3√x−1
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng:
t3−t2−2t>0
⇔t(t2−t−2)>0⇔t(t+1)(t−2)>0
⇔[t>2t<0
⇔[3√x−1>23√x−1<0
⇔[x−1>8x−1<0
⇔[x>90<x<1(x>0)
Vậy, bất phương trình có nghiệm $x > 9$ hoặc $0 < x < 1.$
3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI
Bài tập 7.
Giải bất phương trình:
√5x−1−√x−1>√2x−4,x∈R.
* Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là bất phương trình vô tỉ và có thể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng √f(x)>√g(x)+√h(x), do đó các bước thực hiện bao gồm:
Bước 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình. (*)
Bước 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:
f(x)>g(x)+h(x)+2√g(x).h(x)
⇔√g(x).h(x)<p(x)
⇔{p(x)>0g(x).h(x)<p2(x)
⇒ nghiệm
Bước 3: Kết hợp với (*), nhận được nghiệm của bất phương trình.
Giải
Điều kiện:
{5x−1≥0x−1≥02x−4≥0⇔x≥2. (*)
Biến đổi bất phương trình về dạng:
√5x−1>√2x−4+√x−1
⇔5x−1>2x−4+x−1+2.√(2x−40)(x−1)
⇔√(2x−4)(x−1)<x+2(∗)
⇔2x−4)(x−1)<(x+2)2
⇔x2−10x<0
0<x<10.
Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là 2≤x<10..
Diversity
Diversity
Diversity
Diversity
Diversity
Recent
Smileys & People
Animals & Nature
Food & Drink
Activity
Travel & Places
Objects
Symbols
Flags