Đang xử lý toán: 100%
Phương pháp giải bài toán phương trình có chứa căn thức
Được đăng bởi Ban biên tập    17/05/2019 14:55

             1. Bất phương trình chứa một căn bậc hai

Bài tập1.
             Giải bất phương trình:

                (x23x)2x23x20,xR.

* Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng A.B0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

              f(x).g(x)0, với f(x)f(x) có nghĩa:

             [g(x)=0{g(x)>0f(x)0.

 

Giải

Bất phương trình tương đương với:             
                    [2x23x2=0{2x23x2>0x23x0 
             [x=2x=12{[x>2x<1/2[x3x0
             
              [x3x=2x1/2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (;12]{2}[3;+).

 

Dạng cơ bản 1

Với bất phương trình f(x)<g(x) ta có phép biến đổi tương đương:

 

             {f(x)0g(x)>0f(x)<g2(x)().

 

 

Bài tập 2.

Giải bất phương trình:

x+12(x21),xR.

 

Giải

Bất phương trình tương đương với:

                   {2(x21)0x+102(x21)(x+1)2

             {|x|1x1x22x30

 {|x|1x11x3
              [x=11x3.


Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1;3]{1}.

 

Bài tập3.

Giải bất phương trình:

x2+33x21,xR.

 

* Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương – Giải được.

Ngoài ra, bất phương trình còn được giảitheo các cách khác:

* Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (xx0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:

-  Nhận xét rằng x0=1 là nghiệm của bất phương trình.

-  Biến đổi bất phương trình về dạng:

x2+323x23

x2+34x2+3+23(x21)

(x21)(1x2+3+23)0.

 

* Sử dụng phương pháp đt ẩn phụ, với t=x2+3,t3.

Giải

Đặt t=x2+3,t3. Suy ra ${x^2} = {t^2} – 3.$

Bất phương trình có dạng:

t3(t23)1

3t2t100

(3t+5)(t2)0.

|x|1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (;1][1;+).

 

* Nhận xét:

Để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tương đương.

Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0  rồi chuyển bất phương trình về dạng tích tích (xx0)h(x) bằng phép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận được cách giải hay.

Cách 2: Đặt ẩn phụ.

Một hoặc nhiều ẩn phụ.

Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số.  

Sử dụng đạo hàm.

Cách 4: Đánhgiá.

 

             Dạng cơ bản 2

             Với bất phương trình f(x)>g(x) ta có phép biến đổi tương đương:

 

                          (I):{f(x)0g(x)<0

  hoặc 

                         (II):{g(x)0f(x)>g2(x).()

 

Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).

Bài tập 4.

Giải bất phương trình:

2x+1>1x,xR.

 * Đánh giá và định hướng thực hiện:

Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai -Giải được.

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

* Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (xx0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:

-  Nhận xét rằng ${x_0}=0$ thoả mãn VT = VP.

-  Biến đổi bất phương trình về dạng:

(2x+11)+x>0

2x+112x+1+1+x>0

x(22x+1+1+1)>0

* Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét:

-  Vế trái là hàm đồng biến.

-  Vế phải là hàm nghịch biến.

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x=0.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0;+).

Giải

              Bất phương trình tương đương với:

 

               (I):{2x+101x<0

 

  hoặc 

 

               (II):{1x02x+1>(1x)2.

 

               Ta lần lượt:

               * Giải (I) ta được:

               {x12x>1
              x>1.                                                           (1)

              * Giải (II) ta được:

              {x1x24x<0

 

              {x10<x<4

 

              0<x1.                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0;+).

 

Bài tập 5.

Giải bất phương trình:

|14x|x+12,xR.

*Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “Dạng cơ bản 2” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối -giải được bằng phương pháp chia khoảng.

Giải

             Bất phương trình tương đương với:

(I):x+120

hoặc 

             (II):{x+12>0|14x|(x+12)2().

 

Giải (I) ta được x12.                                     (1)

Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):

  • Với 14x0 tức x14 thì:
             14x(x+12)2x2+2x02x0

 

  • Với 14x<0 tức x>14 thì:

x14(x+12)2

x2+120, vô nghiệm.
Suy ra, nghiệm của (*) là 2x0.

             Và hệ (II) có dạng:

 

            {x>122x0

 

12<x0.                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (;0].      

 

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU

Bài tập 6.

Giải bất phương trình:

x>1+3x1,xR.                                     (1)

* Đánh giá và định hướng thực hiện: Trước tiên, đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình. Từ đây, bằng phép khai phương ta thấy xuất hiện ẩn phụ t=3x1.

Giải

Điều kiện x0.                                                                      (*)

Ta có:

             (1) x>(1+3x1)2 với (x>01+3x1>0)
(2)  x>1+2.3x1+(3x1)2
     
x1(3x1)22.3x1>0                (2)

x>(1+3x1)2

Đặt t=3x1

Khi đó, bất phương trình (2) có dạng:

                        t3t22t>0

 

                        t(t2t2)>0t(t+1)(t2)>0

 

                       [t>2t<0

 

                      [3x1>23x1<0

 

                      [x1>8x1<0

 

                     [x>90<x<1(x>0)

 

                   Vậy, bất phương trình có nghiệm $x > 9$ hoặc $0 < x < 1.$

 

                   3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI

                   Bài tập 7.

                    Giải bất phương trình:

5x1x1>2x4,xR.

 

                  * Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là bất phương trình vô tỉ và có thể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng f(x)>g(x)+h(x), do đó các bước thực hiện bao gồm:

            Bước 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.                  (*)

            Bước 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

f(x)>g(x)+h(x)+2g(x).h(x)

g(x).h(x)<p(x)

 

                          {p(x)>0g(x).h(x)<p2(x)

 

nghiệm

           Bước 3: Kết hợp với (*), nhận được nghiệm của bất phương trình.

Giải

                 Điều kiện:

 

                 {5x10x102x40x2.                        (*)

              Biến đổi bất phương trình về dạng:

5x1>2x4+x1

5x1>2x4+x1+2.(2x40)(x1)

(2x4)(x1)<x+2()

2x4)(x1)<(x+2)2

x210x<0

0<x<10.
Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là 2x<10..

Xem thêm
Bình luận