I. Số nguyên
1. Số nguyên âm

Các số tự nhiên 1,2,3,4,... còn được gọi là các số nguyên dương.

Các số −1,−2,−3,... gọi là các số nguyên âm đọc là âm một, âm hai, âm ba,… hoặc trừ một, trừ hai, trừ ba,…

Các số nguyên dương 1,2,3,... đều mang dấu “+” nên còn được viết được viết là +1,+2,+3,...

Cách nhận biết số nguyên âm:

Số nguyên âm được nhận biết bằng dấu “ – “ ở trước số tự nhiên khác 0.

2. Ứng dụng thực tiễn

Số nguyên âm được sử dụng trong nhiều tình huống thực tiễn cuộc sống:

- Số nguyên âm được dùng để chỉ nhiệt độ dưới $0^oC$.

- Số nguyên âm được dùng để chỉ độ cao dưới mực nước biển.

- Số nguyên âm được dùng để chỉ số tiền nợ, cũng như để chỉ số tiền lỗ trong kinh doanh.

- Số nguyên âm được dùng để chỉ thời gian trước Công nguyên.

3. Tập hợp số nguyên

Tập hợp số gồm các số nguyên âm, số 00 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên.

Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là Z.

Z={...;−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;...}

Chú ý:

Số 0 không là số nguyên dương, cũng không là số nguyên âm.

4. Số đối của một số nguyên

Hai số nguyên trên trục số nằm ở hai phía của điểm 0 và cách đều điểm 0 được gọi là hai số đối nhau.

Chú ý:

- Số đối của một số nguyên dương là một số nguyên âm.

- Số đối của một số nguyên âm là một số nguyên dương.

II. Các phép toán trong số nguyên

1. Phép cộng hai số nguyên

Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác 0.

Để cộng hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số

Bước 2: Tính tổng của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.

Nhận xét:

- Tổng của hai số nguyên dương là số nguyên dương.

- Tổng của hai số nguyên âm là số nguyên âm.

Chú ý: Cho a,ba,b là hai số nguyên dương, ta có:

(+a)+(+b)=a+b(−a)+(−b)=−(a+b)

Ví dụ:

(−3)+(−5)=−(3+5)=−8.

(−13)+(−7)=−(13+7)=−20.

2. Phép trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên aa cho số nguyên bb, ta cộng aa với số đối của b:

a−b=a+(−b)

Nhận xét: Phép trừ trong N không phải bao giờ cũng thực hiện được, còn phép trừ trong Z luôn thực hiện được.

Chú ý: Cho hai số nguyên aa và bb. Ta gọi a−b là hiệu của a và b (a được gọi là số bị trừ, b là số trừ).

3. Nhân hai số nguyên

- Để nhân hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có kết quả cần tìm.

- Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số

Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có tích cần tìm.

4. Phép chia hai số nguyên

- Để chia hai số nguyên khác dấu ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.

- Để chia hai số nguyên âm ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số.

Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.

Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.