1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Khi biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta có thể sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn.

Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0,B \ne 0$, ta có

$\sqrt {\frac{A}{B}}  = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}.$

Ví dụ:

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$\sqrt {\frac{8}{3}} $

Ta có:

$\sqrt {\frac{8}{3}}  = \sqrt {\frac{{8.3}}{{3.3}}}  = \frac{{\sqrt {24} }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{\sqrt {24} }}{3}.$

2. Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu cũng là một phép biến đổi đơn giản thường gặp.

a) Với biểu thức $A,B$ mà $B>0$, ta có:

$\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A.\sqrt B }}{B}.$

b) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,$ và $A \neq  B^2 ,$, ta có:

$\frac{C}{{\sqrt A  \pm B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  \mp B} \right)}}{{A - {B^2}}}.$

c) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$, ta có:

$\frac{C}{{\sqrt A  \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}.$

Ví dụ:

Trục căn thức ở mẫu

$\frac{7}{{3.\sqrt 2 }}$

Ta có:

$\frac{7}{{3.\sqrt 2 }} = \frac{{7.\sqrt 2 }}{{3.\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{7.\sqrt 2 }}{{3.2}} = \frac{7}{3}.\sqrt 2 .$

* Các dạng toán về biến đổi biểu thức chứa căn

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|.$

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu.

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sau:

- Với biểu thức $A,B$ mà $B>0$, ta có:

$\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A.\sqrt B }}{B}.$

- Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,$ $A \ne {B^2}$, ta có:

$\frac{C}{{\sqrt A  \pm B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  \mp B} \right)}}{{A - {B^2}}}.$

- Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$, ta có:

$\frac{C}{{\sqrt A  \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}.$

Dạng 5: Giải phương trình

Phương pháp:

- Tìm điều kiện

- Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản

- So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.