1. Căn bậc hai

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${z^2} = w$ được gọi là một căn bậc hai của w.

Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình ${z^2} - w = 0$ (với ẩn z).

Cách tìm căn bậc hai của số phức w như sau:

 Trường hợp w là số thực

- Căn bậc hai của 0 là 0.

- Xét số thực $w = a \ne 0$:

* Khi a > 0 thì ${z^2} - a = \left( {z - \sqrt a } \right)\left( {z + \sqrt a } \right)$. Do đó, ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $\sqrt a $ hoặc $ - \sqrt a $. Vậy a có hai căn bậc hai là $  \pm \sqrt a $.

* Khi a < 0 thì ${z^2} - a = \left( {z - \sqrt { - ai} } \right)\left( {z + \sqrt { - ai} } \right)$. Do đó, ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $\sqrt { - ai} $ hoặc $ - \sqrt { - ai} $. Vậy a có hai căn bậc hai là $ \pm \sqrt { - ai} $.

Trường hợp w= a + bi $\left( {a,b \in R} \right)$, $b \ne 0$.

$z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi ${z^2} = w$, tức là ${\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi$.

Do ${\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi$ nên ${z^2} = w$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = a\\ 2xy = b \end{array} \right.$

Vậy để tìm các căn bậc hai của w = a + bi ta cần giải hệ phương trình này.

Mỗi cặp số thực (x ; y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ta một căn bậc hai  x + yi của số phức a + bi.

b) Căn bậc hai của của số thực âm 

Căn bậc hai của số thực a là $ \pm i\sqrt {\left| a \right|} $.

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực 

Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c;a,b,c \in R,a \ne 0$. Xét biệt số $\Delta  = {b^2} - 4ac$ của phương trình. Ta thấy:

- Khi $\Delta  = 0$, phương trình có một nghiệm thực.

- Khi $\Delta  > 0$, có hai căn bậc hai (thực) của $\Delta $ là $ \pm \sqrt \Delta  $ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức:

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

- Khi $\Delta  < 0$ phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của $\Delta $.

- Tuy nhiên, $\Delta  < 0$, có hai căn bậc hai thuần ảo của $\Delta $ là ${ \pm i\sqrt \Delta  }$. Khi đó, phương trình hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}$.

Như vậy, trong tập hợp các số phức, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm.

Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc $n\left( {n \ge 1} \right)$ có:

${a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}{x^n} + {a_n} = 0$

trong đó ${a_0},{a_1},...,{a_n} \in C,{a_0} \ne 0$ đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt) (Định lí cơ bản của Đại số học).