I. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số hạng không đổi q). Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội q thì ta có công thức truy hồi:

$ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n}.q,n \in {N^*}$.

Hệ quả: Công bội $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

II. Số hạng tổng quát

* Định lí 1

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${{u_1}}$ và công bội q thì số hạng tổng quát $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi công thức:

${u_n} = {u_1} - {q^{n - 1}},n \ge 2$.

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

* Định lí 2

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},k \ge 2$

Hay

$\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}} $

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

* Định lí 3

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q \ne 1$. Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}$.

Khi đó:

${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.