I. Khái niệm lôgarit

Cho hai số dương a,b với a khác 1 và b là một số dương. Số $\alpha $ thỏa mãn đẳng thức ${a^\alpha } = b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log _a}b$, tức là: 

$\alpha  = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b$

Theo định nghĩa lôgarit, ta có:

$\begin{array}{l} {\log _a}1 = 0,{\log _a}a = 1;\\ {\log _a}{a^b} = b,\forall b \in R;\\ {a^{{{\log }_a}b}} = b,\forall b \in R,b > 0. \end{array}$

II. Quy tắc tính lôgarit

1. Lôgarit của một tích

Định lí 1

Cho ba số dương $a,{b_1},{b_2}$ với a khác 1, ta có:  

${\log _a}\left( {{b_1},{b_2}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}$

Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

2. Lôgarit của một thương

Định lí 2

Cho ba số dương $a,{b_1},{b_2}$ với a khác 1, ta có:  

 ${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$

Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.

Đặc biệt:

${\log _a}\frac{1}{b} =  - {\log _a}b\left( {a > 0,b > 0,a \ne 1} \right)$

3. Lôgarit của một lũy thừa

Định lí 3

Cho hai số dương a,b với a khác 1 với mọi $\alpha $, ta có:

 ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$

Lôgarit của một lũy thừa bằng tích số mũ với lôgari của cơ số.

Đặc biệt:

${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$

4. Đổi cơ số

Định lí 4

Cho ba số dương a,b, c với a,c khác 1, ta có:

${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$ 

Đặc biệt:

$\begin{array}{l} {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_c}a}}\left( {b \ne 1} \right)\\ {\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\left( {\alpha  \ne 0} \right) \end{array}$

5. Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.

${\log _{10}}b$ thương được viết là $\log b$ hoặc $\lg b$.

6. Lôgarit tự nhiên

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số e.

${\log _e}b$ thương được viết là $\ln b$.