1. Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Tích vô hướng của $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $, được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ bằng vectơ $\overrightarrow 0 $ ta quy ước $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $= 0.

Chú ý

Với $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khác vectơ $\overrightarrow 0 $ ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b $.

Khi $\overrightarrow a $ = $\overrightarrow b $ tích vô hướng $\overrightarrow a $.$\overrightarrow a $ được kí hiệu là ${\overrightarrow a ^2}$ và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow a $.

Ta có ${\overrightarrow a ^2} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$.

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vectơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, $\overrightarrow c $ bất kì và mọi số k ta có:

$\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ = $\overrightarrow b $.$\overrightarrow a $ (tính chất giao hoán);

$\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow a .\overrightarrow c $ (tính chất phân phối) ;

$\begin{gathered}   \left( {k\overrightarrow a } \right)\overrightarrow b  = k\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \left( {k\overrightarrow b } \right) \hfill \\   {\overrightarrow a ^2} \geqslant 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \overrightarrow 0  \hfill \\ \end{gathered} $

Nhận xét

Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

$\begin{gathered}   {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}; \hfill \\   {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}; \hfill \\   \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}. \hfill \\ \end{gathered} $

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng toạ độ $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$. Khi đó tích vô hướng $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ là:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét

Hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$.

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$ được tính theo công thức:

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} $.

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ đều khác $\overrightarrow 0 $ thì ta có:

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$.

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ được tính theo công thức sau:

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} $.