Củng cố kiến thức

Bài 2. Phương trình mặt phẳng

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa

Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ . Nếu vectơ $\overrightarrow n \ne 0$ và có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow n$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\alpha$ .

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa

Phương trình có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

* Nhận xét:

a) Nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ .

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là $A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0$ .

2. Các trường hợp riêng

Vị trí đặc biệt của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ so với trục tọa độ:

Phương trình $\left( \alpha \right)$	Đặc điểm của $\left( \alpha \right)$
By + Cz + D = 0	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc chứa Ox
Ax+ Cz + D = 0	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc chứa Oy
Ax + By + D = 0	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc chứa Oz
Cz + D = 0	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc trùng với (Oxy)
By + D = 0	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc trùng với (Oxz)
Ax + D = 0	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc trùng với (Oyz)

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

$\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \left( {{\alpha _1}} \right)//\left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\ {{D_1} \ne k{D_2}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right) = k\left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)}\\ {{D_1} \ne k{D_2}} \end{array}} \right. \end{array}\\ \begin{array}{l} \left( {{\alpha _1}} \right) \equiv \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\ {{D_1} = k{D_2}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right) = k\left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)}\\ {{D_1} = k{D_2}} \end{array}} \right. \end{array} \end{array}$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

$\begin{array}{l} \left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\\ \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0 \end{array}$

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm ${M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)$ . Khoảng cách từ điểm ${M_o}$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ , kí hiệu là $d\left( {{M_o},\left( \alpha \right)} \right)$ , được tính theo công thức:

$d\left( {{M_o},\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Bài tập