1. Căn thức bậc hai

- Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$, còn $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

- $\sqrt A $ xác định (hay có nghĩa) khi $A$ lấy giá trị không âm.

Ví dụ:

a) Với giá trị nào của $a$ thì căn thức $\sqrt {- 5a} $ có nghĩa?

Ta có:

Căn thức trên có nghĩa khi $ - 5a \ge 0 \Leftrightarrow a \le 0$

b) Với giá trị nào của $a$ thì căn thức $\sqrt {4 - a} $ có nghĩa?

Ta có:

$\sqrt {4 - a} $ có nghĩa khi $4 - a \ge 0 \Leftrightarrow a \le 4.$

2. Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

- Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|$

Ví dụ:

a) Tính $\sqrt {{{14}^2}} $

Ta có:

$\sqrt {{{14}^2}}  = \left| {14} \right| = 14.$

b) Rút gọn $\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} $

Ta có:

$\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| = \sqrt 3  - 1$(vì $\sqrt 3  > 1$).

Vậy $\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 3  - 1.$

- Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có:

$\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = A,$ nếu $A \ge 0$ (tức là $A$ lấy giá trị không âm).

$\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| =  - A$ nếu $A < 0$ (tức là $A$ lấy giá trị âm).

Ví dụ:

a) Tìm $x$ biết $\sqrt {4{x^2}}  = 6.$

Ta có:

b) Chứng minh ${\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} = 4 - 2.\sqrt 3 $

Triển khai vế trái ta có: