I. Khái niệm bất phương trình một ẩn

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng:

$f\left( x \right) < g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) \le g\left( x \right)} \right)$ (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.

Ta gọi  f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực ${x_0}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) < g\left( {{x_0}} \right)\left( {f\left( {{x_0}} \right) \le g\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

II. Hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

III. Một số phép biến đổi bất phương trình

1. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương

Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phương trình P(x) < Q(x).

3. Cộng (trừ)

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) + f\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right) + f\left( x \right) < Q\left( x \right) + f\left( x \right)$

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) + f\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right) - f\left( x \right) > Q\left( x \right)$

4. Nhân (chia)

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right).f\left( x \right) < Q\left( x \right).f\left( x \right)$  nếu $f\left( x \right) > 0,\forall x$

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right).f\left( x \right) > Q\left( x \right).f\left( x \right)$  nếu $f\left( x \right) < 0,\forall x$

5. Bình phương

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow {P^2}\left( x \right) < {Q^2}\left( x \right)$ nếu $P\left( x \right) \ge 0,Q\left( x \right) \ge 0,\forall x$

6. Chú ý

a) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

b) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đế điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.

c) Khi giải phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp:

- P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.

- P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow  - Q\left( x \right) <  - P\left( x \right)$

rồi bình phương hai vế phương trình mới.