Bài học này chúng ta sẽ làm quen với khái niệm nguyên hàm. Đây là khái niệm cơ bản, quan trọng của giải tích, có liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm.

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)= f(x) với mọi $x \in K$.

Định lí 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Định lí 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của (x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1: (Suy trực tiếp từ định nghĩa nguyên hàm)

$\int {f'\left( x \right)dx = f} \left( x \right) + C$

- Tính chất 2:

$\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)} dx} $

(k là hằng số khác 0)

$\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)} dx}  \pm g\left( x \right)dx$

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

* Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit:

* Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số:

Định lí 1:

Nếu $\int f \left( u \right)du = F\left( u \right) + C$ và $u = u\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì: $\int f \left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Định lí 2:

Nếu hai hàm số $u = u\left( x \right)$ và $v = v\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: $\int u \left( x \right)v'\left( x \right)dx = \left( x \right)v\left( x \right) - \int u '\left( x \right)v\left( x \right)dx$.