I. Tọa độ của điểm và của vectơ

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi $\overrightarrow {i,} \overrightarrow {j,} \overrightarrow k $ với $\overrightarrow {i}(1;0;0),$ $\overrightarrow {j}(0;1;0),$ $\overrightarrow {k}(0;0;1)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục này được gọi là hệ tọa độ Oxyz.

Trong đó:

- O là gốc tọa độ.

- Các mặt phẳng (Oxy, Oyz, Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

- Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

Vì $\overrightarrow {i,} \overrightarrow {j,} \overrightarrow k $ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

$\overrightarrow {{i^2},} \overrightarrow {{j^2},} \overrightarrow {{k^2}}  = 1$

Và $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow j .\overrightarrow k  = \overrightarrow k .\overrightarrow i  = 0$.

 2. Tọa độ của một điểm

$\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow {i}  + y\overrightarrow {j}  + z\overrightarrow k $

Gọi bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz, được viết: $M = \left( {x;y;z} \right)$ hoặc $M\left( {x;y;z} \right)$.

3. Tọa độ của vectơ

Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM} $. Ta có:

$M = \left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {x;y;z} \right)$

II. Biểu thức tọa độ của phép toán vectơ

Định lí

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$. Ta có:

a) $\vec a + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2};{a_3} + {b_3}} \right)$.

b) $\vec a - \overrightarrow b  = \left( {{a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2};{a_3} - {b_3}} \right)$.

c) $k\vec a = k\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right) = \left( {k{a_1};k{a_2};k{a_3}} \right)$ với k là một số thực.

Hệ quả

a) Cho vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$.

Ta có:

$\vec a = \overrightarrow b  = \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = {b_1}\\ {a_2} = {b_2}\\ {a_3} = {b_3} \end{array} \right.$

b) Vectơ $\overrightarrow 0 $ có tọa độ là $\left( {0;0;0} \right)$.

c) Với $\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 $ thì hai vectơ ${\vec a}$ và $\overrightarrow b $ cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: ${a_1} = k{b_1},{a_2} = k{b_2},{a_3} = k{b_3}$.

d) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ thì:

* $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \left( {{x_A} - {x_B};{y_A} - {y_B};{z_A} - {z_B}} \right)$

* Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

$M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

III. Tích vô hướng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ  $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$ được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}$

2. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} $

b) Khoảng cách giữa hai điểm: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} $

c) Góc giữa hai vectơ: $\cos \varphi  = \cos \left( {\vec a,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2} }}$.

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính r có phương trình là:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {r^2}$