I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

* Định nghĩa 1:

Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0 khi n dần dương tới vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bè tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0$ hay ${u_n} \to 0$ khi $n \to  + \infty $.

* Định nghĩa 2:

Ta nói dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ có giới hạn là số a (hay ${{v_n}}$ dần tới a) khi $n \to  + \infty $ nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{v_n} - a} \right) = 0$.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a$ hay ${v_n} \to 0$ khi $n \to  + \infty $.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0;\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với k nguyên dương;

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0$ nếu $\left| q \right| < 1$;

c) Nếu ${u_n} = c$ (c là hằng số) thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } c = c$.

II. Định lí về giới hạn hữu hạn

* Định lí 1:

a) Nếu $\lim {u_n} = a$ và $\lim {v_n} = b$ thì:

$\begin{array}{l} \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\\ \lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\\ \lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\\ \lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right) \end{array}$

b) Nếu $\lim {u_n} \ge 0,\forall n$ và $\lim {u_n} = a$ thì:

$a \ge 0$ và $\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a $.

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn $\left| q \right| < 1$.

- Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$:

$S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

Ta nói dãy $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $ + \infty $ khi $n \to  + \infty $ nếu $\left( {{u_n}} \right)$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\lim {u_n} =  + \infty $ hay ${u_n} =  + \infty $ khi $n \to  + \infty $.

* Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là có giới hạn $ - \infty $ khi $n \to  + \infty $ nếu $\lim \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty $.

Kí hiệu: $\lim {u_n} =  - \infty $ hay ${u_n} \to  - \infty $ khi $n \to  + \infty $.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\lim {n^k} =  + \infty $ với k nguyên dương;

b) $\lim {q^n} =  + \infty $ nếu q > 1.

3. Định lí

* Định lí 2:

a) Nếu $\lim {u_n} = a$ và $\lim {v_n} =  \pm \infty $ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$.

b) Nếu $\lim {u_n} = a > 0,\lim {v_n} = 0$ và ${v_n} > 0$ với mọi n thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  + \infty $.

c) Nếu $\lim {u_n} =  + \infty $ và $\lim {v_n} = a > 0$ thì $\lim {u_n}.{v_n} =  + \infty $.