Tính đơn điệu của hàm số
Được đăng bởi School Admin-1    07/04/2017 10:08

Hàm số và các bài toán liên quan

I. Bài toán về tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$ khi và chỉ khi $f'(x) \geq0, \forall x \in (a;b)$

Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a;b)$ khi và chỉ khi $f'(x) \leq0, \forall x \in (a;b)$

Ta thường biến đổi bất phương trình $f'(x) \geq0$ thành hai vế, một vế là hàm của x, vế còn lại chứa tham số m.

Có hai dạng bất phương trình sau:

$f(x) \geq g(m), \forall x \in (a;b) \Leftrightarrow g(m) \leq  \mathop {min}\limits_{x \in (a;b)} f(x)$

$f(x) \leq g(m), \forall x \in (a;b) \Leftrightarrow g(m) \geq  \mathop {max}\limits_{x \in (a;b)} f(x)$

Trong đó $g(m)$ là hàm số theo tham số $m$

Bài tập 1:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}(m - 1){x^3} + m{x^2} + (3m - 2)x$

Tìm tất cả các giá trị để hàm đồng biến trên tập xác định.

Giải:

+ Tập xác định $D=R$

Ta có $y’=(m-1){x^2}+2mx+3m-2$

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

 $y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 > 0\\
\Delta ' = {m^2} - (m - 1)(3m - 2) \le 0
\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
(2 - m)(1 + 2m) \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2$


Vậy $m \ge 2$ là đáp số.

Bài tập 2: Cho hàm số
$y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$
Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;1)$.
Giải:
Tập xác định: $D = R\backslash \{  - m\} $
Ta có: $y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{(x + m)}^2}}}$
Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định khi và chỉ khi 
$y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;1)$ thì ta phải có 
$ - m \ge 1 \Leftrightarrow m \le 1$
Kết hợp hai điều kiện, đáp số là $ - 2 < m \le 1$

Bài tập 3: (Thi ĐH khối A 2013)
Cho hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} + 3mx - 1$ với $m$ là tham số thực.
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$ 
Giải:
Ta có $y' =  - 3{x^2} + 6x + 3m$, hàm số nghịch biến trên khoảng 
$(0; + \infty ) \Leftrightarrow y' \le 0\;\forall x \in (0; + \infty )$ (*)
Vì $y'(x)$ liên tục tại $x=0$ nên (*) $\Leftrightarrow y' \le 0\;\forall x \in [0; + \infty )$
$ \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 6x + 3m \le 0\;\forall x \in [0; + \infty )$
$ \Leftrightarrow m \le {x^2} - 3x\;,\;\forall x \in [0; + \infty )$ (1)
Đặt $g(x)={x^2}-2x$, ta có:
(1) $ \Leftrightarrow m \le g(x)\;,\;\forall x \in [0; + \infty )$
$\Leftrightarrow m \le \mathop {Min}\limits_{x \in [0; + \infty )} \;g(x)$
Xét hàm số $g(x)={x^2}-2x$ trên $[0;+ \infty )$
Ta có $g'(x) = 2x - 2 \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;g(x) =  + \infty ;\;g(0) = 0;\;g(1) =  - 1$
$\Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in [0; + \infty )} \;g(x) =  - 1$ tại $x=1$

Vậy $m \leq -1$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$

Bài tập 4:

Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3x + 3m - 4$

Tìm tất cả giá trị $m$ để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Giải:

Tập xác định $D=R$.

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn

$\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} > 1\\
{({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = 1
\end{array} \right.(*)$

Theo định lý Vi-ét ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = 1
\end{array} \right.$

Thay vào (*) ta được $\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} > 1\\
4{m^2} - 4 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}$

Vậy đáp số: $m \in \left\{ { - \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right\}$

Phương pháp sử dụng dấu tam thức bậc 2 và định lý Vi-ét

- Định lý dấu tam thức bậc 2: $f(x) = a{x^2} + bx + c\;,\;a \ne 0\;,\;\Delta  = {b^2} - 4ac$

  • Nếu $\Delta  < 0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$
  • Nếu $\Delta = 0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$ (trừ $x =  - \frac{b}{{2a}}$)
  • Nếu $\Delta > 0$ thì $f(x)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ và trong khoảng hai nghiệm $f(x)$ khác dấu với $a$, ngoài khoảng hai nghiệm $f(x)$ cùng dấu với $a$

- Định lý Vi-ét: Phương trình $f(x) = a{x^2} + bx + c = 0 (a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.$

Bài toán so sánh hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ của tam thức $f(x) = a{x^2} + bx + c$ với một số $\alpha$:

  • ${x_1} < {x_2} < \alpha $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
({x_1} - \alpha )({x_2} - \alpha ) > 0\\
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} < \alpha 
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
{x_1}{x_2} - \alpha ({x_1} + {x_2}) + {\alpha ^2} > 0\\
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} < \alpha 
\end{array} \right.$

 

  • $\alpha < {x_1} < {x_2} $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
({x_1} - \alpha )({x_2} - \alpha ) > 0\\
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} < \alpha 
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
{x_1}{x_2} - \alpha ({x_1} + {x_2}) + {\alpha ^2} > 0\\
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} > \alpha 
\end{array} \right.$

  •  ${x_1} < \alpha  < {x_2}$

 $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
({x_1} - \alpha )({x_2} - \alpha ) < 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
{x_1}{x_2} - \alpha ({x_1} + {x_2}) + {\alpha ^2} < 0
\end{array} \right.$

 

Bài tập 5:

Cho hàm số $y =  - {x^3} + (m + 1){x^2} + m(m - 3)x - \frac{1}{3}$ với tham số thực $m$. Tìm các giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty )$

Giải:

(Ví dụ này không thể đưa về dạng một bên chứa tham số $m$ được nên phải dùng phương pháp xét nghiệm tam thức bậc 2)

Ta có $y' =  - 3{x^2} + 2(m + 1)x + m(m - 3)$ $\Rightarrow \Delta ' = 4{m^2} - 7m + 1$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty )$ $\Leftrightarrow y' \le 0\;\forall x \in (1; + \infty )$ (*)

Trường hợp 1: Nếu $\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 7m + 1 \le 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8} \le m \le \frac{{7 + \sqrt {33} }}{8}$, thì theo định lý dấu tam thức bậc 2 ta có $y' \le 0\;\forall x \in R \Rightarrow $ (*) luôn đúng

Trường hợp 2:Nếu $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 7m + 1 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \le \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}\\
m \ge \frac{{7 + \sqrt {33} }}{8}
\end{array} \right.$ , thì

(*) đúng $\Leftrightarrow$ phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}\;({x_1} < {x_2})$ và ${x_1} < {x_2} \le 1$ (**)

(**) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
{x_1} < {x_2} \le 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
({x_1} - 1)({x_2} - 1) \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m \le \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}\\
m \ge \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}
\end{array} \right.\\
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} < 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m \le \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}\\
m \ge \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}
\end{array} \right.\\
{x_1} + {x_2} < 2
\end{array} \right.$

(Theo định lý Vi-ét ta có ${x_1} + {x_2} = \frac{2}{3}(m + 1);\;{x_1}{x_2} =  - \frac{{m(m - 3)}}{3}$)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \frac{{m)m - 3)}}{3} - \frac{2}{3}(m + 1) + 1 \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m \le \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}\\
m \ge \frac{{7 + \sqrt {33} }}{8}
\end{array} \right.\\
\frac{2}{3}(m + 1) < 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m \le \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}\\
m \ge \frac{{7 + \sqrt {33} }}{8}
\end{array} \right.\\
m < 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \le m\frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}\\
\frac{{7 + \sqrt {33} }}{8} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$

Kết hợp cá hai trường hợp ta có đáp số: $\left[ \begin{array}{l}
\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \le m \le \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}\\
\frac{{7 + \sqrt {33} }}{8} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$ thỏa mãn yêu cầu đề bài




Xem thêm